Adjoint Map의 의미?

그렇다면, 이전 글에서 \(\boldsymbol{\delta}_1\) 앞에 AdjointMap()을 곱해주는 행위가 물리적으로 무슨 의미일까?

결론적으로 말하자면, 이 adjoint matrix는 p1 관점 좌표계 상의 오차 \(\boldsymbol{\delta}_1\)를 p2의 좌표계로 변환하는 역할을 한다.

우리가 기차에 타 있고, 기차 창문을 통해 새가 날아다니는 모습을 관찰한다고 가정해 보자. 새의 관점에서 보면, 새는 주로 새 몸통 기준 앞쪽 방향으로 나아가니, +\(x\) 방향으로 병진 운동을 하면서 약간의 회전을 취할 것이다. 하지만 기차에 타 있는 우리 관점에서는, 우리와 새의 해당 시각의 pose 차이에 따라 새가 동일하게 움직이더라도 다른 움직임으로 보일 수 있다.

예를 들어:

  • 새와 우리 사이의 방향이 수직 바깥 방향으로 차이가 난다면, 새의 움직임이 기차 안의 우리에게는 창문으로부터 멀어지면서 회전하는 것처럼 관측될 것이다.
  • 반대로 방향이 수직 안쪽 방향이라면, 새의 움직임이 창문으로부터 가까워지면서 회전하는 것처럼 보일 수 있다

BetweenFactor에서의 H1 == Adjoint Map

따라서, 우리가 이전 BetweenFactor를 통해 도출해낸 \(\boldsymbol{\delta}_1\)와 \(\boldsymbol{\delta}_2\)는 각기 다른 좌표계인 p1과 p2에서의, local한 좌표계 기준으로 묘사되어 있기 때문에 바로 뺄셈을 하는 것이 불가능하다. 하지만 이 p1 관점의 pose의 미소 변화량 \(\boldsymbol{\delta}_1\)에 adjoint map을 곱해주어 좌표계를 p2 관점으로 통일시켜서 뺄셈이 가능해지는 것이다.

이 사실을 기반으로 이전 글의 수식 (7)을 다시 살펴보면:

\[\boldsymbol{\delta}=\left[\begin{array}{l} \delta \mathbf{t} \\ \delta \theta \end{array}\right]=-\left[\begin{array}{cc} \mathbf{R}_2^\intercal \mathbf{R}_1 & -\hat{\Omega} \mathbf{R}_2^\intercal\left(\mathbf{t}_1-\mathbf{t}_2\right) \\ \mathbf{0} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \delta \mathbf{t}_1 \\ \delta \theta_1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{2 \times 2} & 0 \\ \mathbf{0} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \delta \mathbf{t}_2 \\ \delta \theta_2 \end{array}\right]\; \; \; \; \text{(7)}\]

왜 \(\boldsymbol{\delta}_2\)에서는 H2가 단순히 \(3 \times 3\) identity matrix인지 이제 이해할 수 있다. 왜냐하면 우리가 하고자 했던 것은 각기 다른 좌표계 상의 두 pose에서 optimization을 통해 변화되는 미소 pose 변화량 \(\boldsymbol{\delta}\)를 p2 좌표계로 통일하고 싶기 때문이다. 그러니 \(\boldsymbol{\delta}_2\)는 이미 p2 좌표계로 기술되어 있기 때문에 변화할 필요가 없고, p1의 \(\boldsymbol{\delta}_1\)만 p2 좌표계로 옮겨주면 된다.

지금까지 학부생-석사 1년차 초 학생들이 깊은 수학적 이해 없이도 이해할 수 있게끔 최대한 쉽게 써봤는데, 진또배기 맛을 보고 싶은 이는 GTSAM 레포지토리의 doc/math.pdf를 읽어보면 된다(추천하진 않는다…).

GTSAM Tutorial 시리즈입니다.

  1. GTSAM Tutorial 1. SLAM을 위한 Between Factor 쉽게 이해하기
  2. GTSAM Tutorial 2. SE(2) Transformation matrix, Jacobian, 그리고 Block Operation
  3. GTSAM Tutorial 3. Skew Symmetric matrix 2차원에서 쉽게 이해하기
  4. GTSAM Tutorial 4. Unary Factor를 통한 Lie Group 클래스의 Jacobian 유도하기
  5. GTSAM Tutorial 5. Rot2의 unrotate 함수를 예제로 Jacobian 구해보기
  6. GTSAM Tutorial 6. Pose2의 BetweenFactor Jacobian 유도
  7. GTSAM Tutorial 7. Adjoint Map 쉽게 이해하기
  8. GTSAM Tutorial 8. Pose3의 BetweenFactor Jacobian 유도